초등학교에서 배운 예각 삼각함수(대변/빗변)를 바탕으로, $90^\circ$ 이상이나 음각을 다룰 때 기하학적인 직각삼각형은 더 이상 적용되지 않습니다. 이때,단위원모든 각도를 통합하고 삼각함수를 정의하는 핵심 도구가 됩니다.
1. 임의각의 삼각함수 정의
$\alpha$가 임의각이고, 그 끝선이 단위원과 점 $P(x, y)$에서 만나면 다음과 같이 정의합니다:
- 사인 (Sine): $\sin \alpha = y$
- 코사인 (Cosine): $\cos \alpha = x$
- 탄젠트 (Tangent): $\tan \alpha = \frac{y}{x} \quad (x \neq 0)$
점 $P(x, y)$가 반지름이 $r$인 원 위에 있다면 $\sin \alpha = \frac{y}{r}, \cos \alpha = \frac{x}{r}, \tan \alpha = \frac{y}{x}$입니다.
2. 동일각 기본관계식
단위원의 방정식 $x^2 + y^2 = 1$로부터 직접 도출됩니다:
1. 제곱관계: $\sin^2 \alpha + \cos^2 \alpha = 1$
2. 비율관계: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
2. 비율관계: $\tan \alpha = \frac{\sin \alpha}{\cos \alpha}$
또한 고등수학에서는 삼각함수가테일러 공식수치적 근사 계산에 사용할 수 있습니다. 예를 들어: $\sin x = x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \dots$, 이는 삼각함수와 대수다항식 사이의 깊은 연관성을 보여줍니다.
1. 다항식 항 수집: 하나의 $x^2$ 정사각형, 세 개의 $x$ 직사각형, 그리고 두 개의 $1\times1$ 단위 정사각형.
2. 이를 기하학적으로 조합하기 시작합니다.
3. 완벽하게 더 큰 연속된 직사각형을 형성했습니다! 너비는 $(x+2)$, 높이는 $(x+1)$입니다.
질문 1
$60^\circ$의 끝선과 같은 각의 집합을 작성하고, 불평방 $-360^\circ \le \beta < 360^\circ$에 적합한 원소 $\beta$를 찾아보세요.
집합 $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$; 원소 $\beta = 60^\circ, -300^\circ$
集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 180^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
集合 $\{ \beta | \beta = k \cdot 360^\circ + 60^\circ, k \in \mathbb{Z} \}$；元素 $\beta = 60^\circ, 420^\circ$
集合 $\{ \beta | \beta = 60^\circ \}$；元素 $\beta = 60^\circ$
정답!
正确！终边相同的角相差 $360^\circ$ 的整数倍。当 $k=0$ 时 $\beta=60^\circ$，当 $k=-1$ 时 $\beta=-300^\circ$，均满足范围条件。
오답
提示：终边相同的角的一般形式是 $k \cdot 360^\circ + \alpha$。在该范围内寻找符合条件的 $k$ 值。
질문 2
$\alpha$가 예각임을 알고 있을 때, $2\alpha$는 ( )입니다.
第一象限角
第二象限角
小于 $180^\circ$ 的正角
第一或第二象限角
정답!
正确。因为 $\alpha$ 是锐角，即 $0^\circ < \alpha < 90^\circ$，所以 $0^\circ < 2\alpha < 180^\circ$。注意 $2\alpha$ 可能是直角，不一定属于某个象限。
오답
注意：锐角范围是 $(0, 90^\circ)$，两倍后的范围是 $(0, 180^\circ)$。包括了第一象限、第二象限以及界限 90 度。
질문 3
각 $\theta$의 끝선이 점 $P(-12, 5)$를 지나며, $\sin \theta$의 값을 구하세요.
$5/13$
$-12/13$
$-5/12$
$13/5$
정답!
正确！首先计算 $r = \sqrt{(-12)^2 + 5^2} = 13$。根据定义 $\sin \theta = y/r = 5/13$。
오답
计算 $r$：$r = \sqrt{x^2+y^2}$。正弦值的定义是 $y/r$。
질문 4
(구술) $\alpha$가 삼각형의 내각이라고 가정할 때, $\sin \alpha, \cos \alpha, \tan \alpha$ 중 어떤 것이 음수를 가질 수 있을까요?
只有 $\sin \alpha$
$\cos \alpha$ 和 $\tan \alpha$
三者都有可能
只有 $\tan \alpha$
정답!
正确。三角形内角范围是 $(0, \pi)$。在第一象限 $(0, \pi/2)$ 全为正；在第二象限 $(\pi/2, \pi)$（钝角），正弦为正，余弦和正切均为负。
오답
提示：三角形内角可能是锐角、直角或钝角。考虑钝角在第二象限时的函数符号。
질문 5
用五点法画 $y = -\sin x$ 在 $[-\pi, \pi]$ 上的图象，以下哪个点不是其中的关键点？
$(0, 0)$
(\pi/2, -1)
(\pi/4, -\sqrt{2}/2)
(\pi, 0)
정답!
正确。五点法通常取周期的四分之一个点，即 $0, \pi/2, \pi, 3\pi/2, 2\pi$ 及其对应的函数值。$\pi/4$ 不是五点法的标准关键点。
오답
五点法选取的是函数取得最值和零点的关键位置。
질문 6
下列函数中，既是奇函数又是周期为 $\pi$ 的函数是 ( )。
$y = \sin 2x$
$y = 1 - \cos x$
$y = \sin x \cos x$
$y = \tan x$
정답!
正确。$y = \sin 2x$ 是奇函数，且周期 $T = 2\pi/2 = \pi$。注意 $y = \tan x$ 虽然也是奇函数且周期为 $\pi$，但 $\sin 2x$ 在高中题目中更常作为此类型的标准答案。
오답
检查周期公式 $T = 2\pi/\omega$ 以及奇偶性 $f(-x) = -f(x)$。
질문 7
不通过求值，比较 $\cos \frac{2\pi}{7}$ 与 $\cos(-\frac{3\pi}{5})$ 的大小。
$\cos \frac{2\pi}{7} > \cos(-\frac{3\pi}{5})$
$\cos \frac{2\pi}{7} < \cos(-\frac{3\pi}{5})$
相等
无法比较
정답!
正确。$\cos(-3\pi/5) = \cos(3\pi/5)$。由于 $2\pi/7 < \pi/2 < 3\pi/5$，且余弦函数在 $[0, \pi]$ 上单调递减，故较小的角对应的余弦值较大。
오답
提示：利用诱导公式 $\cos(-\alpha) = \cos \alpha$。并在同一个单调区间内比较角度大小。
질문 8
已知函数 $f(x) = \frac{1}{2} \sin(2x - \frac{\pi}{3})$，其最小正周期为 ( )。
$\pi$
$2\pi$
$\pi/2$
$4\pi$
정답!
正确。根据周期公式 $T = 2\pi / |\omega|$，此处 $\omega = 2$，故 $T = 2\pi / 2 = \pi$。
오답
周期公式：$T = 2\pi / \omega$。
질문 9
求 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ$ 的值。
$1/4$
$1/2$
$\sqrt{3}/4$
$1/8$
정답!
正确。利用二倍角公式的逆运用：$\sin \alpha \cos \alpha = \frac{1}{2} \sin 2\alpha$。所以 $\sin 15^\circ \cos 15^\circ = \frac{1}{2} \sin 30^\circ = 1/4$。
오답
提示：使用二倍角公式 $\sin 2\alpha = 2\sin \alpha \cos \alpha$。
질문 10
已知 $\sin \beta + \cos \beta = 1/5, \beta \in (0, \pi)$，则 $\tan \beta$ 的值为 ( )。
$-4/3$
$3/4$
$-3/4$
$4/3$
정답!
正确。两边平方：$1 + 2\sin \beta \cos \beta = 1/25 \implies \sin 2\beta = -24/25$。因为和为正且积为负，故 $\sin \beta > 0, \cos \beta < 0$（第二象限）。解得 $\sin \beta = 4/5, \cos \beta = -3/5$，故 $\tan \beta = -4/3$。
오답
提示：将等式平方求出 $\sin \beta \cos \beta$，结合 $\sin^2 + \cos^2 = 1$ 解出具体的正余弦值。
挑战：摩天轮的三角建模
实际周期性现象分析
某摩天轮最高点距离地面 120m，最低点距离地面 10m，摩天轮旋转一周需要 30 分钟。假设摩天轮匀速转动，游客从最低点处进入座舱开始计时。
Q1
求游客距离地面的高度 $h$ (m) 与时间 $t$ (min) 的函数解析式。
详细解析：
1. 振幅 $A$: 半径为 $(120 - 10) / 2 = 55$m。
2. 垂直位移 $k$: 中心高度为 $(120 + 10) / 2 = 65$m。
3. 角速度 $\omega$: 周期 $T=30$，则 $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$。
4. 相位 $\phi$: $t=0$ 时处于最低点 $h=10$。设 $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$。当 $t=0$ 时，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$。
解析式： $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
1. 振幅 $A$: 半径为 $(120 - 10) / 2 = 55$m。
2. 垂直位移 $k$: 中心高度为 $(120 + 10) / 2 = 65$m。
3. 角速度 $\omega$: 周期 $T=30$，则 $\omega = 2\pi / 30 = \pi / 15$。
4. 相位 $\phi$: $t=0$ 时处于最低点 $h=10$。设 $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t + \phi) + 65$。当 $t=0$ 时，$55\sin \phi + 65 = 10 \implies \sin \phi = -1 \implies \phi = -\pi/2$。
解析式： $h(t) = 55\sin(\frac{\pi}{15}t - \frac{\pi}{2}) + 65$ 或 $h(t) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15}t)$。
Q2
游客开始转动 5 分钟后，距离地面的高度是多少？
详细解析：
将 $t=5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m。
结论： 高度为 37.5 米。
将 $t=5$ 代入公式：
$h(5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{15} \cdot 5) = 65 - 55\cos(\frac{\pi}{3})$
$h(5) = 65 - 55 \cdot (1/2) = 65 - 27.5 = 37.5$m。
结论： 高度为 37.5 米。
Q3
如果座舱匀速转动，经过 $\frac{1}{2}$ 周期后，座舱的位置变化在单位圆投影上如何体现？
详细解析：
经过半个周期（15分钟），角度增加了 $\pi$ 弧度。在单位圆上，这意味着点 $P(x, y)$ 旋转到了关于原点对称的点 $P'(-x, -y)$。在三角函数中表现为诱导公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，如果原本在最低点，半周期后必在最高点。
经过半个周期（15分钟），角度增加了 $\pi$ 弧度。在单位圆上，这意味着点 $P(x, y)$ 旋转到了关于原点对称的点 $P'(-x, -y)$。在三角函数中表现为诱导公式：$\sin(\alpha + \pi) = -\sin \alpha$。因此，如果原本在最低点，半周期后必在最高点。
✨ 核心要点
单位圆上看坐标，$y$ 是正弦 $x$ 余弦。平方相加恒等于一，比值正切永流传！
💡 坐标即函数值
记住“单位圆”是核心。终边与单位圆交点的横坐标 $x$ 就是 $\cos \alpha$，纵坐标 $y$ 就是 $\sin \alpha$。
💡 象限符号口诀
“一全正，二正弦，三正切，四余弦”。这决定了你在做开方运算时如何选取正负号。
💡 正切的定义域
因为 $\tan \alpha = y/x$，当终边在 $y$ 轴上时（即 $\alpha = k\pi + \pi/2$），$x=0$，此时正切值无意义。
💡 弧度制提醒
在应用泰勒公式或物理周期模型（$T=2\pi/\omega$）时，角度必须使用弧度制。
💡 五点法作图
画正余弦曲线时，找准三个零点和两个最值点，用平滑的“波浪线”连接。